Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Προβληματισμοί και ανταλλαγή ιδεών από την Επικαιρότητα και διάφορα άλλα θέματα.

Συντονιστής: Super-Moderators

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Connor MacLeod
Honorary Member
Δημοσιεύσεις: 13372
Εγγραφή: 07 Φεβ 2005 13:36
Τοποθεσία: Κοζάνη
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από Connor MacLeod » 23 Μάιος 2012 16:59

Ελπιζω να με απαντήσετε σοβαρα...

Λοιπον. Εχουμε και λεμε. Καταρχήν ειναι ερώτηση στατιστικής και εχει να κανει με κατανομή πιθανοτήτων και συγκεκριμένα με uniform distribution.

Για να μη γραφω την θεωρία ολη (φαντάζομαι την ξερεται), εχουμε και λεμε:
Οτι ειναι μέσα στα σημεια a,b θεωρείτε ως μια πιθανότητα, ότι ειναι εξω απο αυτα η πιθανότητα ειναι 0 (Δεν υπάρχει πιθανότητα)

Μια τυχαια ερωτηση απο το βιβλιο:
Ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρώσει ενας φοιτητής την εξεταση ενως μαθήματος ειναι μεταξυ 30 και 60 λεπτών.

α) Πια η πιθανότητα να την ολοκληρώσει μεταξύ 30 και 40 λεπτων
β) Πια η πιθανότητα να χρειαστεί ακριβώς 37m23s

Φτιαχουμε το ομορφο σχημα-τάκι σε paint.exe:

Εικόνα

α)
f(x) = 1/(60-30) = 1/30
To διάστημα απο 30 εως 40 εχει πλατος 40-30=10, οποτε:
P(30<X<40) = 10.(1/30)=0,3333 ή 33,33%

Αυτο ηταν η εισαγωγή.
Η ερωτηση-απορία μου ειναι στο β ερώτημα:

β) Σύμφωνα με τον ορισμό, Η πιθανότητα μια συγκεκριμένης τιμής(μεσα στο διάστημα α,β) ειναι 0(Μηδεν, Ναδα, ζεροου),επειδή η πιθανότητα ενός διαστήματος στο οποιο τα δυο ακρα συμπίπτουν(το πλατος τους) ειναι μηδενικό, αρα και το εμβαδόν θα ειναι μηδενικό.

Επειδή δε μπορω να το καταλάβω και διαφωνώ με το συγκεκριμένο ορισμό, μπορει καποιος να με εξηγήσει γιατί η πιθανότητα ειναι μηδενική?
Και για να αναφερθώ και συγκεκριμένα στο παραπάνω παράδειγμα, που θα μπορουσε να ειναι και πραγματικό (μεσα απο την ζωη), με λεει δλδ ότι δεν υπάρχει καμια μα καμια περίπτωση να τελειώσω την εξέταση σε ακριβώς 37m23s

Παράδοξο? ή εξηγείται? Καποια απόδειξη εχει κανεις?

Ευχαριστώ.
Meizu MX5(5.5"/8Core/3GB/32GB/Sony IMX220 20.7MP)
PC 27'' (3770@3.4/16GB/560SE/500GB SATA3/650W S12G)
Mac mini (2.5GHz/8GB/6630/90GB GorsairGT)

tango
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: 20 Σεπ 2011 05:32

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από tango » 23 Μάιος 2012 18:04

Connor MacLeod έγραψε: β) Σύμφωνα με τον ορισμό, Η πιθανότητα μια συγκεκριμένης τιμής(μεσα στο διάστημα α,β) ειναι 0(Μηδεν, Ναδα, ζεροου),επειδή η πιθανότητα ενός διαστήματος στο οποιο τα δυο ακρα συμπίπτουν(το πλατος τους) ειναι μηδενικό, αρα και το εμβαδόν θα ειναι μηδενικό.
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (αυτό λέμε "πιθανότητα" στις συνεχείς μεταβλητές) ορίζεται ως:
Εικόνα
Επειδή δε μπορω να το καταλάβω και διαφωνώ με το συγκεκριμένο ορισμό,
Όρισμός σημαίνει αυθαίρετη δήλωση - Δεν τίθεται θέμα διαφωνίας στον ορισμό :D
μπορει καποιος να με εξηγήσει γιατί η πιθανότητα ειναι μηδενική?
Ναι. Καταρχάς, τεχνικά, από τον ορισμό, το ολοκλήρωμα με ίδια άκρα είναι 0.

Στο πιο ουσιώδες κομμάτι της απάντησης τώρα, σε μπερδεύει η έννοια του ορίου και του απείρου, που είναι βασικές στις συνεχείς μεταβλητές.

Φαντάσου ότι έχεις ένα βελάκι και στο 1 μέτρο είναι ένας ελέφαντας (ρόζ). Η πιθανότητα να τον πετύχεια είναι μεγάλη. Αν αντί για το ελέφαντα έχεις ένα μήλο, η πιθανότητα είναι μικρότερη. Αν αντί για μήλο έχεις ένα κουνούπι, η πιθανότητα είναι ακόμα μικρότερη. Αν αντί για το κουνούπι έχεις ένα κόκκου άμμου η πιθανότητα είναι ακομα πιο μικρή. Αν αντί για τον κόκκου άμμου έχεις ΤΙΠΟΤΑ, η πιθανότητα είναι μηδέν.

Με βάση το παραπάνω σκεψου ότι το όριο καθώς πηγαίνω στο τίποτα είναι μηδεν.

Το σημείο έχει μήκος απείρως μικρό (τίποτα) σε συνεχή χώρο. Η έννοια του απείρου εδώ έρχεται στο είναι ότι αν αθροίσεις απείρα απείρως μικρά κομμάτια παίρνεις κάτι μετρήσιμο. Δηλαδή, το κάθε συνεχές διάστημα χωρίζεται σε άπειρα, απείρως μικρά, σημεία.
Και για να αναφερθώ και συγκεκριμένα στο παραπάνω παράδειγμα, που θα μπορουσε να ειναι και πραγματικό (μεσα απο την ζωη), με λεει δλδ ότι δεν υπάρχει καμια μα καμια περίπτωση να τελειώσω την εξέταση σε ακριβώς 37m23s
Μπερδεύεσαι με τις διακριτές πιθανότητες. Η πιθανότητα να τελειώσεις την εξέταση στα 37m23s000ms0000000000000000000000κτλ. είναιι μηδέν, όταν θεωρείς τον χρόνο συνεχή μεταβλητή.
Παράδοξο? ή εξηγείται? Καποια απόδειξη εχει κανεις?
Εξηγείται από το επίπεδο των καθηγητών στα σχολεία ;) :lol: Επίσης, η έννοια του απείρου έχει απασχολήσει τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά μέχρι να γίνει κτήμα μας, οπότε μην χαλιέσαι, είναι φυσιολογικό να μας μπερδεύει.

Άβαταρ μέλους
Connor MacLeod
Honorary Member
Δημοσιεύσεις: 13372
Εγγραφή: 07 Φεβ 2005 13:36
Τοποθεσία: Κοζάνη
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από Connor MacLeod » 23 Μάιος 2012 18:31

Μπερδεύεσαι με τις διακριτές πιθανότητες. Η πιθανότητα να τελειώσεις την εξέταση στα 37m23s000ms0000000000000000000000κτλ. είναιι μηδέν, όταν θεωρείς τον χρόνο συνεχή μεταβλητή.
Μα δε μας ενδιαφερουν τα ms...
Μας ενδιαφερει ο συγκεκριμενος χρονος, 37,23.

Για να μη μπερδευόμαστε με το χρόνο,
Θα μπορούσε αντι για χρόνος να ειναι ποση θα ειναι η πιθανότητα παραγγελίας πορτοκαλιών μεταξύ 3ων και 7τόνων, και 2-2 τόνων με α,β(1-9). Υπάρχει πιθανότητα να εχω παραγγελία 2 τόνους ακριβώς και ειναι μεσα στο a,b.

Εγω πιστεύω ότι το θεώρημα ειναι λάθος για το λόγο ότι στηρίζεται (σε ενα πιο πανω θεώρημα) το οποιο υπολογίζει την πιθανότητα με βάση το εμβαδό, δηλαδη την επιφάνεια. Προφανώς για να μπορέσουμε καπως να το υπολογίζουμε βασίστηκαν σε αυτη τη συγκεκριμένη θεωρία και πιστευω οτι καπου εκει ειναι το σφάλμα. Η πιθανότητα ειναι κατι αηλο, μη πραγματικό όπως πχ ο χρόνος. Όπως λεει και στη wiki, μέτρο πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου.
Ναι. Καταρχάς, τεχνικά, από τον ορισμό, το ολοκλήρωμα με ίδια άκρα είναι 0.
Αυτο ακριβώς. Γιατι το υπολογίζουμε σαν εμβαδο.
Meizu MX5(5.5"/8Core/3GB/32GB/Sony IMX220 20.7MP)
PC 27'' (3770@3.4/16GB/560SE/500GB SATA3/650W S12G)
Mac mini (2.5GHz/8GB/6630/90GB GorsairGT)

Άβαταρ μέλους
fiskilis
Honorary Member
Δημοσιεύσεις: 14093
Εγγραφή: 16 Νοέμ 2003 22:44
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από fiskilis » 23 Μάιος 2012 18:56

Connor MacLeod έγραψε:Ελπιζω να με απαντήσετε σοβαρα...
Ευχαριστώ.

Ασχε-το;
Αντε και το εμαθες αυτο απεξω ... που θα σου φανει χρησιμο στην υπολοιπη ζωη σου; ε;

billiaswhs
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: 11 Νοέμ 2004 00:29
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από billiaswhs » 23 Μάιος 2012 19:57

Το υπολογίζουμε σαν εμβαδόν γιατί καταρχήν στις πιθανότητες έχουμε το δειγματοχώρο ο οποίος μπορεί να περιλαμβάνει ασαφή στοιχεία ένα σύνολο ασαφών στοιχείων ονομάζεται event ή αλλιώς στοιχεία μιας σίγμα άλγεβρα (σ-algebra). Κάθε ένα γεγονός παίρνει μια τιμή στον άξονα το πραγματικών αριθμών με συνάρτηση που ονομάζεται τυχαία μεταβλητή (random variable). Η συνάρτηση πιθανότητας παίρνει ως πεδίο ορισμού τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής και της απεικονίζει στο διάστημα [0,1] οπότε μπορεί να το φανταστείς ότι πρέπει να αθροίσει το χρόνο 37m23s που παίρνει μια τιμη από [0,1] το χρονο 37m24s [0,1] και το 37m23s που παίρνει μια τιμή από [0,1] για να υπολογίσει τη πιθανότητα P(37m23s =<time=< 37m23s) δες περισσότερους του ορισμούς (random variable, σ-algebra, measure theoritic probabily).
Ασχε-το;
Αντε και το εμαθες αυτο απεξω ... που θα σου φανει χρησιμο στην υπολοιπη ζωη σου; ε;
Αν το μάθει απέξω δεν θα το χρησιμοποιήσει ποτε, γιατί ακομά και αν έβρισκε κατί που θα
χρειαζόταν να υπολογίσει πιθανότητες (από hobby μεχρι δουλειά) δεν θα κατάβαινε τι πρέπει να κάνει.

tango
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: 20 Σεπ 2011 05:32

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από tango » 24 Μάιος 2012 02:25

Connor MacLeod έγραψε: Μα δε μας ενδιαφερουν τα ms...
Μας ενδιαφερει ο συγκεκριμενος χρονος, 37,23.
Στις συνεχείς μεταβλητές, η ακρίβεια ενός σημείου είναι άπειρη (από τον ορισμό της συνέχειας). Αν περιορίσεις την μέτρηση του χρόνου στα δευτερόλεπτα, είσαι σε διακριτό χώρο και όχι σε συνεχή. Η ομοιόμορφη κατανομή αναφέρεται σε συνεχή χώρο και όχι σε διακριτό.
Θα μπορούσε αντι για χρόνος να ειναι ποση θα ειναι η πιθανότητα παραγγελίας πορτοκαλιών μεταξύ 3ων και 7τόνων, και 2-2 τόνων με α,β(1-9). Υπάρχει πιθανότητα να εχω παραγγελία 2 τόνους ακριβώς και ειναι μεσα στο a,b.
Αν μοντελοποιείς το παραπάνω με διακριτό τρόπο, ναι. Αν το μοντελοποιήσεις με συνεχή, η πιθανότητα είναι 0.
Εγω πιστεύω ότι το θεώρημα ειναι λάθος για το λόγο ότι στηρίζεται (σε ενα πιο πανω θεώρημα) το οποιο υπολογίζει την πιθανότητα με βάση το εμβαδό, δηλαδη την επιφάνεια.
Αυτό με το εμβαδό είναι απλά μια οπτικοποίηση για τους μαθητές να καταλαβαίνουν διαισθητικά για τι μιλάμε. Δες τον ορισμό που έγραψα πιο πάνω. Τα μαθηματικά είναι εντελώς αυστηρά ορισμένα και δεν υπάρχει περιθώριο ασάφειας - αλλιώς δεν θα ήταν μαθηματικά :). Απλά όταν πάς να εξηγήσεις αφηρημένες έννοιες, χρησιμοποιείς εικόνες του πραγραμτικού κόσμου για να μην αυτοκτονήσει ο μαθητής - γιατί όπως και να το κάνουμε, οι αφηρημένες έννοιες είναι δύσκολες για τον άνθρωπο, γιατί η καθημερινή του εμπειρία είναι διαφορετική.

Άβαταρ μέλους
Connor MacLeod
Honorary Member
Δημοσιεύσεις: 13372
Εγγραφή: 07 Φεβ 2005 13:36
Τοποθεσία: Κοζάνη
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από Connor MacLeod » 24 Μάιος 2012 06:21

Αντε και το εμαθες αυτο απεξω ... που θα σου φανει χρησιμο στην υπολοιπη ζωη σου; ε;
Δε ξερω. (Ακομα)
Μπορει να παω για μεταπτυχιακό στατιστικολόγου...
Αν το μάθει απέξω δεν θα το χρησιμοποιήσει ποτε, γιατί ακομά και αν έβρισκε κατί που θα
χρειαζόταν να υπολογίσει πιθανότητες (από hobby μεχρι δουλειά) δεν θα κατάβαινε τι πρέπει να κάνει.
Δλδ με λιγα λογια με λες χαζο?
:(

tango
Thanks για τα info
Απλά όταν πάς να εξηγήσεις αφηρημένες έννοιες, χρησιμοποιείς εικόνες του πραγραμτικού κόσμου για να μην αυτοκτονήσει ο μαθητής
Φοιτητης ειμαι...
Απο το βιβλιο του Gelald Geller ειναι αυτα
Meizu MX5(5.5"/8Core/3GB/32GB/Sony IMX220 20.7MP)
PC 27'' (3770@3.4/16GB/560SE/500GB SATA3/650W S12G)
Mac mini (2.5GHz/8GB/6630/90GB GorsairGT)

billiaswhs
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: 11 Νοέμ 2004 00:29
Επικοινωνία:

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από billiaswhs » 24 Μάιος 2012 12:21

Connor MacLeod έγραψε:
Αντε και το εμαθες αυτο απεξω ... που θα σου φανει χρησιμο στην υπολοιπη ζωη σου; ε;
Δε ξερω. (Ακομα)
Μπορει να παω για μεταπτυχιακό στατιστικολόγου...
Αν το μάθει απέξω δεν θα το χρησιμοποιήσει ποτε, γιατί ακομά και αν έβρισκε κατί που θα
χρειαζόταν να υπολογίσει πιθανότητες (από hobby μεχρι δουλειά) δεν θα κατάβαινε τι πρέπει να κάνει.
Δλδ με λιγα λογια με λες χαζο?
:(
όχι δεν αφορούσε εσένα αλλά τον fiskili που έκανε τη παρακάτω ερώτηση
fiskilis έγραψε: Ασχε-το;
Αντε και το εμαθες αυτο απεξω ... που θα σου φανει χρησιμο στην υπολοιπη ζωη σου; ε;

tango
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: 20 Σεπ 2011 05:32

Ερώτηση μαθηματικών (Στατιστική)

Δημοσίευση από tango » 24 Μάιος 2012 14:26

Connor MacLeod έγραψε:
Απλά όταν πάς να εξηγήσεις αφηρημένες έννοιες, χρησιμοποιείς εικόνες του πραγραμτικού κόσμου για να μην αυτοκτονήσει ο μαθητής
Φοιτητης ειμαι...
Απο το βιβλιο του Gelald Geller ειναι αυτα
Κι ο φοιτητής δεν είναι μαθητής; :o ;) (μαθητής -> αυτός που μαθάινει, όχι αυτός που πάει στην πρωτο/δευτερο-βάθμια εκπαίδευση)

Απάντηση

Επιστροφή στο “Επικαιρότητα & Διάφορες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες